Комплексный анализ. Лекция 15b. Принцип аргумента и теорема Руше

Институт математики, механики и компьютерных наук им.И.И.Воровича Южного федерального университета (http://mmcs.sfedu.ru). Лекции по математическому анализу читает доцент кафедры алгебры и дискретной математики М.Э.Абрамян. Содержание лекции 15. Теорема об интегрировании логарифмической производной (значение интеграла по контуру Gamma от функции f'(z)/f(z), если f аналитична в односвязной области за исключением конечного числа полюсов). Следствие о приращении аргумента функции f при обходе контура Gamma (принцип аргумента), его геометрическая интерпретация, примеры. Теорема Руше (о числе нулей функций f(z) и f(z)+g(z) в односвязной области, если на границе области модуль f строго больше модуля g, а f и g аналитические функции без особых точек). Доказательство основной теоремы алгебры с использованием теоремы Руше. Пример использования теоремы Руше для определения числа корней полинома в области (полином z^9-6*z^4+z^3-2*z^2+1 в единичном круге). Применение принципа аргумента для локализации и приближенного вычисления корней уравнения f(z)=0.