En el año 1960, con la iniciativa de José González-Grano de Oro y Agustín Flores, los miembros fundadores (especificados como tales en la sección "Miembros") se unieron para formar el grupo. Llevaban consigo múltiples influencias europeas de las formaciones que, en aquel entonces, ocupaban los números uno de las listas de éxito, como los Beatles británicos. Al igual que otros conjuntos hispanos, comenzaron como jóvenes estudiantes aficionados que interpretaban las canciones más populares del momento. No obstante, pronto se dieron cuenta de que la realización de versiones, por muy virtuosas que fueran, no les llevaba al éxito y, añadido a esto el hecho de que, al tratarse de un grupo de provincias, les suponía una traba frente a otros músicos que intentaban lanzar sus carreras en las grandes capitales, como Madrid o Barcelona. Por ello, decidieron dar el gran salto exclusivamente con canciones compuestas y escritas por ellos, principalmente por José González-Grano de Oro, que además de fundador (y el alma máter del grupo durante toda su historia), fue el compositor y letrista de de todas los canciones de Los Puntos.
Fue en el año 1969 cuando la casa discográfica Polydor se interesó por ellos, impulsando su lanzamiento para intentar hacerlos tan populares y famosos como otros grupos contemporáneos, formaciones de éxito como Fórmula V, Los Diablos, Módulos, o cualquiera de las que destacaban en el panorama musical español de la época.